von Kim Schulz

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1. Was ist eigentlich Wahrscheinlichkeitsrechnung?

Der Mensch war schon immer fasziniert vom Zufall. Bereits im Zeitalter von Kopernikus und Galileo entstanden Diskurse über die Theorie des Wahrscheinlichen. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein Teilgebiet der Mathematik, welches die „Möglichkeit des Eintretens bzw. der Voraussagbarkeit eines Ereignisses“ [1] berechnet. Durch die Wahrscheinlichkeitsrechnung werden Prozesse besser planbar. Die Rechnung macht das Ungewisse scheinbar kalkulierbar.

Die heute genutzte axiomatische Definition der Theorie der Wahrscheinlichkeitsrechnung stammt aus dem 1933 veröffentlichten Lehrbuch Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung von Andrej N. Kolmogorow (1903-1987). In diesem Lehrbuch schafft Kolmogorow eine präzise Grundlage und fasst die vorherigen Ansätze und Definitionen der Wahrscheinlichkeitsrechnung zusammen. Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis wird zwischen 0 und 1 angesiedelt. Je näher die Wahrscheinlichkeit an 1 ist, desto eher wird das Ereignis passieren.

Große Bedeutung hat die Wahrscheinlichkeitsrechnung für unterschiedlichste Zweige: Naturwissenschaft, Wirtschaft, Technik und Ökonomie. Besonders in den Bereichen des Glücksspiels und der Börsenkurse findet sich noch heute die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Jedoch besteht zwischen diesen beiden Bereichen ein besonderer Unterschied. Beide werden zwar als zufällig betrachtet, jedoch bleibt beim Glücksspiel z.B. der Würfel von den vorangegangenen Ereignissen unbeeinflusst, da dieser kein Gedächtnis besitzt. Die Börsenteilnehmer hingegen werden in ihrer Zukunftserwartung durch die aktuelle Lage und ihre Erinnerungen beeinflusst.

Es ist wichtig zu betonen, dass Glaube und Wissen keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsrechnung haben. Es zählen statistische Erhebungen, die erstellt und ausgewertet werden, um daraus auf zukünftige Ereignisse zu schließen. Jedoch muss diese Aussage außerhalb der Mathematik und für den alltäglichen Gebrauch eingeschränkt werden, denn Glaube beeinflusst die Interpretation der Wahrscheinlichkeit bestimmter Ereignisse. Fragen Sie nur mal in ihrem Freundeskreis, welcher Fußballclub am Wochenende gewinnen wird.

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[1] https://www.duden.de/rechtschreibung/Wahrscheinlichkeit

2. Von Dante zu Kolmogorow

„Wann das Zaraspiel zu Ende ist, so bleibt derjenige, welcher verliert, gemeiniglich in trauriger Stille zurück. Hier wiederholt er, wie oft er verloren, und lernt in der Schule unglücklicher Erfahrungen. Mit dem Gewinner hingegen, zieht nun die ganze Gesellschaft dahin.“ (Dante, Göttliche Komödie, Vom Fegefeuer, 6. Gesang, Vers. 1.)

Die Situation die Dante in seiner Göttlichen Komödie vom Würfelspiel beschreibt, ist an sich schon interessant, weitaus interessanter sind jedoch die Kommentare zu derselben Versstelle, die bereits zu Mitte des 14. Jahrhunderts die Wahrscheinlichkeit des Gewinnens oder Verlierens des beliebten Würfelspieles zu erklären versuchen. Der erste Kommentar zur Göttlichen Komödie, welcher Überlegungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung beinhaltet, stammt von Jacopo di Giovanno della Lana (1290-1365), und entstand zwischen 1324 und 1328, wie Guglielmo Libri (1803-1869) in seiner Histoire des sciences mathématiques en Italie von 1838/41 beschreibt. Bei dem Würfelspiel gioco della zara sind bereits während des Mittelalters erste bescheidene Ansätze einer Berücksichtigung der Wahrscheinlichkeit zu erkennen.

Im Verlauf der Jahrhunderte finden sich auch Werke die zwar die Wahrscheinlichkeitstheorie behandeln, jedoch keinen oder keinen großen Einfluss auf die weitere Forschung zur Wahrscheinlichkeitsrechnung haben. So z.B. der Renaissance-Gelehrte Girolamo Cardano (1501-1576), der 1526 ein Lehrbuch schreibt, in dem er den Wahrscheinlichkeitsbegriff im heutigen klassischen Sinne verwendet. Das Buch wird jedoch erst im Jahre 1663 gedruckt.

Als Schlüsselereignis in der Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung gilt der Briefwechsel zwischen Blaise Pascal (1623-1662) und Pierre de Fermat (1607-1665). In einem Brief werden die beiden Theoretiker gefragt wer bei einem damals üblichen Würfelspiel den Gewinn bekomme, wenn nicht – wie ausgemacht – bis 6 Punkte, sondern nur bis 5 Punkte gespielt würde. Es geht hier zwar noch nicht um die Wahrscheinlichkeitsrechnung, sondern um das Teilungsproblem, aber nachfolgende Mathematiker sehen in den Betrachtungen von Fermat und Pascal die ersten Ansätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Die beiden Mathematiker erwägen in ihrem Briefwechsel, mit welcher Wahrscheinlichkeit die beiden imaginären Würfelspieler gewinnen/verlieren würden. Es sei jedoch bemerkt, dass weder Fermat noch Pascal den Begriff „Wahrscheinlichkeit“ in ihren Überlegungen nutzen. Nach Hacking gibt es vor 1650 und dem Schlüsselereignis des Briefwechsels zwischen Pascal und Fermat kein modernes Konzept – was er als eine Mischung an Glauben, dass etwas passieren könnte und Wissen, wie oft sowas schon passiert ist, definiert – von Wahrscheinlichkeit.

1657 veröffentlicht Christiaan Huygens (1629-1695) sein Buch über die Berechnung beim Würfelspiel. Sein Beitrag zur Wahrscheinlichkeitsrechnung wird unter dem lateinischen Titel De ratiociniis in ludo aleae veröffentlicht. Damit legt der Mathematiker einen weiteren Grundstein für die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Im weiteren Verlauf des 17. Jahrhunderts wird die Wahrscheinlichkeitsrechnung vor allem als Theorie der Glücksspiele angewandt. Aber auch Versicherungsgesellschaften erkennen ihren Vorteil. Die Lebensversicherungen zählen zu einem der ersten Bereiche, in welchem die Wahrscheinlichkeitsrechnung wirtschaftliche Anwendung findet.

Die Wahrscheinlichkeit von Todesfällen zeigt John Graunt (1620-1674) mit der Bill of Mortality. Graunt leistet hiermit einen wichtigen Teil zur Ausgestaltung der modernen Statistik. Er dokumentiert in der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts die Todesarten und wie viele Menschen an diesen, pro Jahr und pro Stadt, gestorben sind.

Ein weiterer bedeutender Theoretiker der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist der Schweizer Mathematiker Jakob Bernoulli (1654-1705), welcher das Gesetz der großen Zahlen und den Begriff der Statistik in seinem Buch Ars conjectandi (1713) erläutert. Bernoulli stellt erstmals die Wahrscheinlichkeit als Subjekt der Ungenauigkeit vor. Die entscheidende Frage sei, wie man solche Wahrscheinlichkeiten bestimme. Er führt auch das – heute nach ihm benannte – Bernoulli-Prinzip ein: eine Entscheidung wird in zwei Schritten getroffen. Im ersten Schritt wird eine subjektive Nutzenvorstellung getroffen und im zweiten Schritt wird die Wahl mit dem höchsten Erwartungswert gewählt. Bernoulli unterfüttert die Berechnung durch Statistiken, also durch Beobachtungen von Ereignissen aus der Vergangenheit, mit Hilfe derer auf die Zukunft geschlossen werden kann. Das Prinzip wird auch als Erwartungsnutzentheorie bezeichnet. Obwohl Mutmaßungen über die Wahrscheinlichkeitsrechnung bereits lange in der Wissenschaft bestehen, ist es doch das Werk von Bernoulli, welches als die erste fundierte Abhandlung zur Wahrscheinlichkeit bezeichnet werden kann. Bernoulli unterscheidet in seinem Werk zwischen Wissen und Vernunft und gibt damit eine klare Definition von Wahrscheinlichkeit seiner Zeit:

„Irgend ein Ding vermuten heisst soviel als seine Wahrscheinlichkeit messen. Deshalb bezeichnen wir als Vermuthungs- oder Muthmaasungskunst die Kunst, so genau als möglich die Wahrscheinlichkeit der Dinge zu messen und zwar zu dem Zwecke, dass wir bei unseren Urtheilen und Handlungen stets das auswählen und befolgen können, was uns besser, trefflicher, sicherer oder rathsamer erscheint. Darin allein beruht die ganze Weisheit der Philosophen und die ganze Klugheit des Staatsmannes.“ (zit. n. Hirtz 2008, S. 37)

Die Arbeiten von Pascal, Huygens und Bernoulli sind die Grundpfeiler auf denen die Wahrscheinlichkeitsrechnung, wie wir sie heute kennen, fußt. Obwohl nach Bernoulli noch viele Mathematiker zu der Wahrscheinlichkeitsrechnung forschen, ist es Simon-Pierre de Laplace (1749-1827), der als Bindeglied zwischen den Forschungen des 18. und 20. Jahrhunderts gilt. In seiner Théorie Analytique des Probabilités (1812) findet sich eine Zusammenfassung der im 17. und 18. Jahrhundert veröffentlichten Arbeiten zur Wahrscheinlichkeitsrechnung. Unter anderem mit seinem Essai Philosophique sur les Probabilités (1812) und seiner Weiterentwicklung von Bayes Aussagen – dem Satz von Bayes, entwickelt von Thomas Bayes (1701-1761) und veröffentlicht in An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Changes (1763) – schafft Laplaces die Basis für die ihm nachfolgenden Wissenschaftler.

Die Kritik an Laplaces Überlegungen kommt ab den 1840er Jahren vor allem aus Großbritannien (u.a. John Stuart Mill, John Venn, Robert Leslie Ellis). Der bedeutendste Beitrag stammt von Joseph Bertrand (1822-1900), der mit dem sogenannten Bertrand Paradox die Unstimmigkeiten und Inkonsistenzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung, in seinem Buch Calcul des Probabilités (1868) aufzeigt. Sein sogenanntes Kugelparadoxon, zeigt zwei Lösungen für ein Problem auf. Beide Ansätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung sind rechnerisch richtig und es lässt sich keine genaue Lösung festlegen.

Im 19. Jahrhundert gibt es ein Aufschwung der Wahrscheinlichkeitsrechnung (z.B. bei Ludwig Boltzmann und Karl Pearson). Die Bown’sche Bewegung, benannt nach dem Botaniker Robert Brown (1773-1858), welcher 1827 unter dem Mikroskop die unregelmäßigen Bewegungen von Pollen in Flüssigkeit beobachtet, gilt heute als mathematisches Idealmodell für Zufallsprozesse. Als Begründer des sogenannten Random Walk gilt der französische Finanzmathematiker Louis Bachelier (1870-1946). In seiner Dissertation Théorie de la Speculation (1900) betrachtet er den Börsenkurs als Zufallsprozess und beschreibt einen Teil der mathematischen Ergebnisse mit Hilfe der Bown’schen Bewegung. 1933 erscheint das Lehrbuch Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung von Andrei N. Kolmogorow, in welchem er die Grundlagen für die Wahrscheinlichkeitsrechnung festlegt:

1. Jedem beliebigen Ereignis A aus einer Menge von möglichen Ereignissen kann eine positive reelle Zahl als Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden;
2. Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1;
3. Die Wahrscheinlichkeit, dass entweder das eine oder das andere von zwei unabhängigen Ereignissen eintritt, entsprich der Summe der Wahrscheinlichkeit der einzelnen Ereignisse

Im 20. und 21. Jahrhundert beschäftigt man sich im Zuge der Wahrscheinlichkeitsrechnung vor allem mit stochastischen Prozessen, die zur Erfassung der (Um-)Welt dienen.

3. Literatur

• Edmund F. Byrne, Probability and Opinion. A Study in the Medieval Presumptions of Post-Medieval Theories of Probability, Den Haag 1968.
• Robert Castel, Von der Gefährlichkeit zum Risiko, in: Manfred M. Wambach (Hrsg.), Der Mensch als Risiko. Zur Logik von Prävention und Früherkennung, Frankfurt am Main 1983, S. 51-74.
• Ian Hacking, The Emergence of Probability. A Philosophical Study of Early Ideas about Probability, Induction and Statistical Inference, Cambridge 1975/2006.
• W.A. Hemmerich, Wahrscheinlichkeit <https://matheguru.com/stochastik/wahrscheinlichkeit.html> (03.03.2020).
• Helmut Hirtz, Ein Blick in die Historie der Wahrscheinlichkeitsrechnung, in: Bayern in Zahlen (2008), S. 32-48.
• Robert Ineichen, Didaktik und Elementarmathematik. Das Problem der drei Würfel in der Vorgeschichte der Stochastik, in: Elemente der Mathematik (1987), S. 69-75.
• Andrej N. Kolmogorow, Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Berlin 1933.
• Bayard Rankin, The History of Probability and the Changing Concept of the Individual, in: Journal of the History of Ideas (1966), S. 483-504.
• Jos Uffink, The Interpretation of Probability in a Historical Perspective <https://www.youtube.com/watch?v=u-1OWYtuT0I> (03.03.2020).

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